歯車の組み合わせを数学を使って考えてみる ~レゴマインドストームEV3~ | そう備忘録

歯車の組み合わせを数学を使って考えてみる ~レゴマインドストームEV3~

歯車の組み合わせについて

教育用レゴマインドストームEV3に入っている主な歯車について組み合わせる時のパターンについて考えてみた。

考えてみたのは以下の7種類

7種類の歯車

複数の歯車を組み合わせるときに直線上で隣り同士で簡単に組み合わせる事ができる時と隙間が空いてしまうのでちょっとした工夫が必要な時がある。

正しく組み合わさるパターン

正しく組み合わさるパターン

隙間が空いてしまうパターン

隙間が空いてしまうパターン

この様な違いが発生する理由と対策について考えてみた。

ブロックの間隔と歯車のサイズ

まずは基本的な数字を抑えておく。

ブロックの軸穴と軸穴との間隔をノギスで測ると8mmであることが分かった。

10穴=80mmなので1穴は8mm

軸穴と軸穴の間隔を測定

次に歯車の半径を測るのだが歯車の中心から先端までのサイズを測るのでは無く「先端から歯車の高さの半分まで」とした。

歯車の半径を測る

これは歯車が組み合わさった時にお互いに重なる部分があるので、その分を差し引いた数字を歯車が必要とする半径とした。

すると歯車数の半分の数値が必要な半径(mm)になっている事が分かった。

歯車数

半径(mm)

4mm

歯車8

12

6mm

 歯車12

16

8mm

歯車16

20

10mm

歯車20

24

12mm

歯車24

36

18mm

歯車36

40

20mm

歯車40

組み合わせ

複数の歯車を組み合わせた時に必要な距離は上記の表のお互いの半径を足した数字になる。

具体的には歯車数12(6mm)と歯車数20(10mm)との組み合わせは6mm+10mmで16mmの距離が必要となる。

この距離が8の倍数の時は軸穴が存在するので直線上で組み合わせる事ができる。

一方、8で割り切れない時、例えば歯車数20(10mm)と20(10mm)は距離が20mmとなるので単純に直線上で組み合わせる事ができない。

組み合わせた時の必要な距離と8で割った時の余りを表にしたものを以下に示す。

表1.

2つの歯車を組み合わせた時の距離(mm)と8で割った余りの関係

歯車数121620243640
8ー010ー212ー414ー616ー022ー624ー0
1210ー212ー424ー616ー018ー224ー026ー2
1612ー424ー616ー018ー220ー426ー228ー4
2014-616-018-220ー422ー628ー430ー6
2416-018-220-422-624-030-632-0
3622-624-026-228-430-636-438-6
4024-026-228-430ー632-038-640-0

背景色がピンクの組み合わせは8の倍数(余りがゼロ)、一方余りが4の組み合わせは背景色を青にしている

余りが4の組み合わせ

余りが4の場合(背景色が青)は軸穴と軸穴の間隔が8mmなので、その半分だけずらせば組み合わせることが出来る。

4mmだけずらす方法は幾つかあるが代表的なのは以下のブロックを使うパターン。

方法1

方法1

4mmずらすパターン

16:24

16:24

方法2

方法2

4mmずらす方法2

36:36(36mm)

36:36(36mm)

上記の他にもやり方はあると思うので思いついた方はコメントをください

余りが2や6の時の組み合わせ

やっかいなのが余りが2や6のパターン。

正直、上記の4mmずらす時の様に「このパーツを挟めばOK」というパターンは見つけられなかったので別のアプローチをしてみる。

直角のブロックを使うパターン

直角のブロックを使って1と2の軸穴に斜めに歯車を配置して最適な距離のパターンが無いかを探る。

斜めの距離は直角三角形の斜辺の長さになるので三角関数を使えば求める事ができる。

直角のブロック

計算式

三角関数

上記の計算式より縦横の組み合わせをGoogleのシートを使って計算した所、以下の表になる。

表2.

三角関数 軸穴間の数(距離)と斜辺の長さ(mm)の関係

軸穴数
11.317.925.333.040.8
17.922.628.835.843.1
25.328.833.940.046.6
33.035.840.045.351.2
40.843.146.651.256.6

※小数点以下2桁目を四捨五入

例えば縦に2軸穴、横に3軸穴分だけ移動した軸穴同士の距離は28.8mmになる。

上記の表2を使って表1の余りが2または6(色が付いていないセル)で距離が近いものについて歯車がうまく回るかをすべて試してみる。

その結果以下のパターンの時に歯車が噛み合うことが分かった。

距離が18mm

距離が18mmの組み合わせは1×2軸穴(17.9mm)で下記の2パターン

12歯車×24歯車

12歯車×24歯車

16歯車×20歯車

16歯車×20歯車

距離が22mm

距離が22mmの組み合わせは2×2軸穴(22.6mm)で下記の2パターン

しかし若干かみ合わせが甘くてガタついているので後述の斜めのブロックを使うほうがオススメ

8歯車×36歯車

8歯車×36歯車

20歯車×24歯車

20歯車×24歯車

距離が26mm

距離が26mmの組み合わせは1×3軸穴(25.3mm)で下記の2パターン

こちらは若干硬めなので高速回転させる時には注意が必要

12歯車×40歯車

12歯車×40歯車

16歯車×36歯車

16歯車×36歯車

直角ブロックを使っての可能な組み合わせは以上。

しかしまだ10mm、14mm、30mm、38mmのパターンが見つからない

鈍角(126度)のブロックを使うパターン

鈍角のブロックを使うパターンを検証してみる。

しかしこのブロック、てっきり角度は120度だと思っていたら違うみたい。

3枚合わせた時に重ならない、分度器で測ってみたら126度だった。

鈍角のブロック

直角三角形では無いので三角関数ではなく余弦定理を当てはめて対角線の長さを計算する。

余弦定理

同じくGoogleシートを使って計算すると以下の表になる

表3.

余弦定理 軸穴間の数(距離)と斜辺の長さ(mm)の関係

軸穴数
14.321.729.437.345.2
21.728.535.843.451.1
29.435.842.850.057.5
37.343.450.057.064.3
45.251.157.564.371.3

※小数点以下2桁目を四捨五入

上記の表3を使って表1の余りが2または6(色が付いていないセル)で距離が近いものについて歯車がうまく回るかをすべて試してみる。

その結果以下のパターンの時に歯車が噛み合うことが分かった。

距離が14mm

距離が14mmの組み合わせは1×1軸穴(14.3mm)で下記の2パターン

8歯車×20歯車

8歯車×20歯車

12歯車×16歯車

12歯車×16歯車

距離が22mm

距離が22mmの組み合わせは1×2軸穴(21.7mm)で下記の2パターン

直角のブロックの時よりもこちらの方がしっくり来るのでオススメ

8歯車×36歯車

8歯車×36歯車

20歯車×24歯車

20歯車×24歯車

距離が30mm

距離が30mmの組み合わせは1×3軸穴(29.4mm)で下記の2パターン

20歯車×40歯車

20歯車×40歯車

24歯車×36歯車

24歯車×36歯車

距離が38mm

距離が38mmの組み合わせは1×4軸穴(37.3mm)で下記の1パターン

36歯車×40歯車

36歯車×40歯車

その他

これで表1の組み合わせはほぼ網羅できた。

しかし8歯車×12歯車(距離10mm)だけは計算式からは見つけることができなかった。

組み合わせをご存知の方はコメントを下さい。

最後に動画

この記事の内容を動画にしている。

実際に歯車の組み合わせ具合を見てみたい人は参考にしてほしい

souichirou

やった事を忘れない為の備忘録 同じような事をやりたい人の参考になればと思ってブログにしてます。 主にレゴ、AWS(Amazon Web Services)、WordPress、Deep Learning、RaspberryPiに関するブログを書いています。 仕事では工場に協働ロボットの導入や中小企業へのAI/IoT導入のアドバイザーをやっています。 2019年7月にJDLA(一般社団法人 日本デイープラーニング協会)Deep Learning for GENERALに合格しました。 質問は記事一番下にあるコメントかメニュー上部の問い合わせからお願いします。

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