歯車の組み合わせを数学を使って考えてみる　～レゴマインドストームEV3～

歯車の組み合わせについて

教育用レゴマインドストームEV3に入っている主な歯車について組み合わせる時のパターンについて考えてみた。

考えてみたのは以下の７種類

複数の歯車を組み合わせるときに直線上で隣り同士で簡単に組み合わせる事ができる時と隙間が空いてしまうのでちょっとした工夫が必要な時がある。

正しく組み合わさるパターン
隙間が空いてしまうパターン

この様な違いが発生する理由と対策について考えてみた。

ブロックの間隔と歯車のサイズ

まずは基本的な数字を抑えておく。

ブロックの軸穴と軸穴との間隔をノギスで測ると8mmであることが分かった。

１０穴＝８０mmなので１穴は８mm

次に歯車の半径を測るのだが歯車の中心から先端までのサイズを測るのでは無く「先端から歯車の高さの半分まで」とした。

これは歯車が組み合わさった時にお互いに重なる部分があるので、その分を差し引いた数字を歯車が必要とする半径とした。

すると歯車数の半分の数値が必要な半径（ｍｍ）になっている事が分かった。

組み合わせ

複数の歯車を組み合わせた時に必要な距離は上記の表のお互いの半径を足した数字になる。

具体的には歯車数１２（６mm）と歯車数２０（１０mm）との組み合わせは６mm＋１０mmで１６mmの距離が必要となる。

この距離が８の倍数の時は軸穴が存在するので直線上で組み合わせる事ができる。

一方、８で割り切れない時、例えば歯車数２０（１０mm）と２０（１０mm）は距離が２０mmとなるので単純に直線上で組み合わせる事ができない。

組み合わせた時の必要な距離と８で割った時の余りを表にしたものを以下に示す。

表１．

２つの歯車を組み合わせた時の距離（mm）と８で割った余りの関係

背景色がピンクの組み合わせは８の倍数（余りがゼロ）、一方余りが４の組み合わせは背景色を青にしている

余りが４の組み合わせ

余りが４の場合（背景色が青）は軸穴と軸穴の間隔が８mmなので、その半分だけずらせば組み合わせることが出来る。

4mmだけずらす方法は幾つかあるが代表的なのは以下のブロックを使うパターン。

余りが２や６の時の組み合わせ

やっかいなのが余りが２や６のパターン。

正直、上記の４mmずらす時の様に「このパーツを挟めばOK」というパターンは見つけられなかったので別のアプローチをしてみる。

直角のブロックを使うパターン

直角のブロックを使って１と２の軸穴に斜めに歯車を配置して最適な距離のパターンが無いかを探る。

斜めの距離は直角三角形の斜辺の長さになるので三角関数を使えば求める事ができる。

上記の計算式より縦横の組み合わせをGoogleのシートを使って計算した所、以下の表になる。

表２．

三角関数　軸穴間の数（距離）と斜辺の長さ（mm）の関係

※小数点以下２桁目を四捨五入

例えば縦に２軸穴、横に３軸穴分だけ移動した軸穴同士の距離は２８．８mmになる。

上記の表２を使って表１の余りが２または６（色が付いていないセル）で距離が近いものについて歯車がうまく回るかをすべて試してみる。

その結果以下のパターンの時に歯車が噛み合うことが分かった。

距離が１８mm	距離が１８mmの組み合わせは１×２軸穴（１７．９mm）で下記の２パターン １２歯車×２４歯車 １６歯車×２０歯車
距離が２２mm	距離が２２mmの組み合わせは２×２軸穴（２２．６mm）で下記の２パターン しかし若干かみ合わせが甘くてガタついているので後述の斜めのブロックを使うほうがオススメ ８歯車×３６歯車 ２０歯車×２４歯車
距離が２６mm	距離が２６mmの組み合わせは１×３軸穴（２５．３mm）で下記の２パターン こちらは若干硬めなので高速回転させる時には注意が必要 １２歯車×４０歯車 １６歯車×３６歯車

直角ブロックを使っての可能な組み合わせは以上。

しかしまだ１０mm、１４mm、３０mm、３８mmのパターンが見つからない

鈍角（１２６度）のブロックを使うパターン

鈍角のブロックを使うパターンを検証してみる。

しかしこのブロック、てっきり角度は１２０度だと思っていたら違うみたい。

３枚合わせた時に重ならない、分度器で測ってみたら１２６度だった。

直角三角形では無いので三角関数ではなく余弦定理を当てはめて対角線の長さを計算する。

同じくGoogleシートを使って計算すると以下の表になる

表３．

余弦定理　軸穴間の数（距離）と斜辺の長さ（mm）の関係

距離が１４mm	距離が１４mmの組み合わせは１×１軸穴（１４．３mm）で下記の２パターン ８歯車×２０歯車 １２歯車×１６歯車
距離が２２mm	距離が２２mmの組み合わせは１×２軸穴（２１．７mm）で下記の２パターン 直角のブロックの時よりもこちらの方がしっくり来るのでオススメ ８歯車×３６歯車 ２０歯車×２４歯車
距離が３０mm	距離が３０mmの組み合わせは１×３軸穴（２９．４mm）で下記の２パターン ２０歯車×４０歯車 ２４歯車×３６歯車
距離が３８mm	距離が３８mmの組み合わせは１×４軸穴（３７．３mm）で下記の１パターン ３６歯車×４０歯車

その他

これで表１の組み合わせはほぼ網羅できた。

しかし８歯車×１２歯車（距離１０mm）だけは計算式からは見つけることができなかった。

組み合わせをご存知の方はコメントを下さい。

最後に動画

この記事の内容を動画にしている。

実際に歯車の組み合わせ具合を見てみたい人は参考にしてほしい